Cramer fan regel en syn tapassing

Cramer syn regel - is ien fan de eksakte metoaden foar it oplossen fan systemen fan strekkende algebraic fergelikingen (Slough). Syn krektens fanwege it brûken fan 'e determi- fan it systeem Matrix, krektas guon fan de beheiningen oplein yn it bewiis fan' e stelling.

In systeem fan strekkende algebraic fergelikingen mei coefficients dy't ta, bygelyks, in mearfâldichheid fan R - echte oantallen unknowns x1, x2, ..., XN is in kolleksje fan uteringen

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain XN = bi mei i = 1, 2, ..., m, (1)

dêr't Aij, bi - echte nûmers. Elts fan dy ekspresjes hjit in liniearre fergeliking, Aij - coefficients fan de unknowns, bi - ûnôfhinklike coefficients fan fergelikingen.

oplossing fan (1) oantsjutten n-dimensional vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., XN °), at hokker wikselje yn it systeem foar de unknowns x1, x2, ..., XN, elts fan de rigels yn it systeem wurdt bêste fergeliking .

It systeem wurdt neamd konsekwint as it hat yn alle gefallen ien oplossing, en in foarum, as it gear mei de oplossing set fan 'e lege set.

It moat betocht wurde dat om te finen oplossings foar systemen fan lineêre fergelikingen mei help fan de metoade fan Cramer, matrix systemen moatte wêze fjouwerkant, wat yn prinsipe betsjut itselde oantal unknowns en fergelikingen yn it systeem.

Dus, te brûken Cramer syn metoade, dan moast yn elts gefal witte wat it Matrix is in systeem fan lineêre algebraic fergelikingen, en it is útjûn. En oard, om te begripen wat hjit de determinant fan de matriks en syn eigen feardichheden fan-berekkening.

Lit ús der fan út dat dizze kennis jo besitte. Wonderful! Dan moatte jo gewoan memorize formules fêststellen Kramer metoade. Om ferienfâldigjen memorization brûke de folgjende notaasje:

• Det - de wichtichste determinant fan de matriks fan it systeem;

• děti - is de determinant fan de matriks krigen út de primêre matriks fan it systeem troch ferfangen i-th kolom fan de matriks nei in kolom vector waans eleminten binne de rjochterkant kanten fan de strekkende algebraic fergelikingen;

• n - it oantal unknowns en fergelikingen yn it systeem.

Dan Cramer syn regear computation i-th komponint xi (i = 1, .. n) n-dimensional vector x kin skreaun wurde as

xi = děti / Det, (2).

Yn dit gefal, det strang oars nul.

It eigene fan de oplossing fan it systeem as it wurdt mienskiplik fersoarge troch de ûngelikensens tastân fan 'e wichtichste determinant fan it systeem oan nul. Oars, as de som fan (XI), kwadraat, strikt posityf, dan SLAE in fjouwerkant matrix is infeasible. Dit kin barre yn it bysûnder as op syn minst ien fan de děti Artilleribataljonen.

Foarbyld 1. Oplosse de trijediminsjonale Lau systeem mei help Cramer syn formule.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Beslút. Wy opskriuwe de matriks fan it systeem line troch line, dêr't Ai - is de i-th rige fan de matriks.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Column frije coefficients b = (31 oktober 29).

De wichtichste systeem is de determinant Det
Det = A11 A22 a33 + A12 a23 A31 + A31 a21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 a23 - a33 a21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Om berekkenjen de permutation det1 brûkend A11 = B1, a21 =: B2, A31 = B3. doe
det1 = B1 A22 a33 + A12 a23 B3 + A31 b2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 a23 - a33 b2 A12 = ... = -81.

Ek te bepalen det2 gebrûk wikselje A12 = B1, A22 =: B2, A32 = B3, en, neffens, te berekkenjen det3 - A13 = B1, a23 =: B2, a33 = B3.
Dan kinne jo kontrolearje dat det2 = -108, en det3 = - 135.
Neffens de formules Cramer fine x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Antwurd: x ° = (3,4,5).

In berop te dwaan op de tapasberens fan dizze regel, de metoade fan Kramer oplossen fan systemen fan lineêre fergelikingen kinne brûkt wurde yndirekt, bygelyks, om te ûndersykjen it systeem op de mooglike oantal oplossings ôfhinklik fan de wearde fan in parameter k.

Foarbyld 2. Om fêst te stellen op hokker wearden fan de parameter k ûngelikensens | KX - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 hat presys ien oplossing.

Beslút.
Dit ûngelikensens, troch de definysje fan de module funksje kin útfierd wurde allinne as beide uterings binne nul tagelyk. Dêrom, dit probleem wurdt werombrocht nei it finen fan de oplossing fan lineêre algebraic fergelikingen

KX - y = 4,
x + ky = -4.

De oplossing foar dit systeem allinne as is it de wichtichste determinant fan de
Det = k ^ {2} + 1 is Artilleribataljonen. It is dúdlik dat dy tastân is tefreden foar alle echte wearden fan de parameter k.

Antwurd: foar alle echte wearden fan de parameter k.

De doelstellingen fan dit type kin ek fermindere soad praktyske problemen op it mêd fan wiskunde, natuerkunde of skiekunde.