Pendulum: perioade en fersnelling fan de formule

It meganysk systeem, dat bestiet út in materiaal punt (it lichem), dat hinget op in weightless inextensible gloeitried (syn massa is negligible yn ferliking mei it gewicht fan it lichem) yn in unifoarm gravitasjonele fjild, neamd de wiskundige pendule (oare namme - de oscillator). Der binne oare typen fan apparaten. Yn stee fan in gloeitried weightless stêf kin brûkt wurde. Pendulum kin dúdlik reveal de essinsje fan in protte nijsgjirrige ferskynsels. As lytse amplitude trillings fan syn moasje wurdt neamd harmonic.

Algemiene ynformaasje oer de meganyske systeem

De formule fan de oscillation perioade fan 'e slinger waard fokt Nederlânske wittenskipper Huygens (1629-1695 gg.). Dit tiidgenoat fan Isaac Newton wie dol op de meganyske systeem. Yn 1656 makke er de earste horloazje mei in slinger meganisme. Sy mjitten de tiid mei ekstreme precision foar dy tiden. Dit útfining wie in grutte stap yn de ûntwikkeling fan de fysike eksperiminten en praktyske aktiviteiten.

As de slinger yn in lykwicht posysje (hingjen fertikaal), de swiertekrêft wurdt lykwicht troch de garen spanning krêft. Platte pendulum op in net-stretch Yarns is in systeem mei twa graden fan frijheid fan kommunikaasje. As feroaret mar ien bestândiel fan feroaret de skaaimerken fan al syn dielen. Bygelyks, as in tried wurdt ferfongen troch in roede, dan dit meganyske systeem is mar 1 graad fan frijheid. Wat, dan, de eigenskippen fan in wiskundige slinger? Yn dit ienfâldige systeem, ûnder de ynfloed fan in periodike perturbation, gaos ferskynt. Yn dat gefal, doe't de ûnderbrekking punt is net beweecht, en oscillates in slinger der in nij lykwicht posysje. As rapid fluktuaasjes op en del dizze meganysk systeem wurdt stabyl posysje "op'e kop." It hat ek syn namme. It hjit de Kapitza slinger.

De eigenskippen fan de slinger

Pendulum hat hiel nijsgjirrige eigenskippen. Alle dêrfan wurde stipe troch bekende fysike wetten. De perioade fan oscillation fan 'e slinger gjin oar hinget ôf fan ferskate omstannichheden lykas de grutte en de foarm fan it lichem, de ôfstân tusken de punt fan' ûnderbrekking en it swiertepunt, gewicht distribúsje mei respekt foar dit punt. Dat is wêrom't de definysje fan 'e lea hong perioade is hiel útdaagjend. Is folle makliker te berekkenjen de perioade fan in ienfâldige slinger, de formule fan dat jûn wurdt hjirûnder. As gefolch fan observearjen dy patroanen kin ynsteld wurde op ferlykbere meganyske systemen:

• As, wylst behâld fan deselde lingte fan 'e slinger, skorst út in ferskaat oan laden wurdt, it tiidrek fan de oscillation krije itselde, hoewol't harren gewicht sil ferskille fierders sterk. Sadwaande kin it tiidrek fan 'e slinger net ôf fan it gewicht fan de lading.

• As it systeem begjint te ôfnimme de slinger is net te grut, mar ferskillende hoeken, dan sil skommelje mei deselde perioade, mar op ferskillende amplitudes. Wylst ôfwikings út it sintrum fan lykwicht is net te grut fluktuaasjes yn harren foarm sil wêze tichtby genôch harmonic. De perioade fan sa'n slinger net ôfhinklik is fan 'e vibrational amplitude. Dit eigendom fan de meganyske systeem hjit isochronism (yn it Gryksk "Chronos" - tiid "Izosov" - gelyk).

De perioade fan in ienfâldige slinger

Dizze figuer stiet foar de natuerlike perioade fan oscillation. Nettsjinsteande it kompleks formulearring, it proses sels is hiel simpel. As de lingte fan 'e garen wiskundige pendule L, en de gravitasjonele fersnelling g, dizze wearde is gelyk:

T = 2π√L / g

Lytse perioade fan natuerlike oscillations op gjin inkelde wize net ôfhinklik is fan de massa fan 'e slinger en de oscillation amplitude. Yn dit gefal, as in wiskundige slinger beweecht mei ferlytse lingte.

Oscillations fan in wiskundige slinger

Wiskundige pendule oscillates, dat kin wurde beskreaun troch in ienfâldige differinsjaaloperator fergeliking:

x + ω2 sûnde x = 0,

dêr't x (t) - ûnbekende funksje (dizze hoeke fan it ferlizzen fan 'e legere posysje fan it lykwicht op it stuit t, útdrukt yn radialen); ω - in positive konstante dy't fêststeld wurdt út de parameters fan de slinger (ω = √g / L, dêr't g - de fersnelling fan dregens, en L - de lingte fan in ienfâldige slinger (ophinging).

Fergeliking lytse oscillations near lykwicht posysje (harmonic fergeliking) as folget:

x + ω2 sûnde x = 0

Oscillatory moasje fan 'e slinger

Pendulum, dat makket lytse oscillations, bewegende sinusoid. Twade oarder differinsjaaloperator fergeliking foldocht oan alle easken en parameters fan sa'n beweging. Fêst te stellen it paad jo nedich hawwe om de snelheid en koördinaten, dy't letter bepaald ûnôfhinklike konstanten:

x = In sin (θ ₀ + ωt),

dêr't θ ₀ - earste faze, A - befieming fan oscillation, ω - Cyclische frekwinsje bepaald út de fergelikingen fan beweging.

Pendulum (formule foar grutte amplitudes)

Dit meganysk systeem, fiere harren oscillations mei in grutte amplitude, is it ûnderwerp oan komplekser ferkear wetten. se wurde berekkene neffens de formule foar sa'n slinger:

sûnde x / 2 = u * sn (ωt / u),

dêr't sn - sine Jacobi, dy't foar u <1 is in periodike funksje, en foar lytse u dat gear mei de ienfâldige trigonometric sinus. De wearde fan u wurdt bepaald troch de folgjende útdrukking:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

dêr't ε = E / mL2 (mL2 - enerzjy fan 'e slinger).

Fêststellen fan nonlinear oscillation perioade fan 'e slinger troch de folgjende formule:

T = 2π / Ω,

dêr't Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptyske integral, π - 3,14.

de slinger beweging fan de separatrix

It hjit separatrix trajekt fan it dynamyske systeem, dêr't in twadiminsjonale faze romte. Pendulum ferhuzet op in net-periodyk. Yn de ûneinich fier punt fan de tiid dat druppels van de ekstreme boppe posysje nei in nul snelheid, en dan wurdt it stadichoan hieltyd. Hy úteinlik stoppe, werom nei har oarspronklike posysje.

As de befieming fan oscillation fan de slinger komt it oantal pi, dan wurdt sein dat de beweging yn de faze fleantúch leit ticht by de separatrix. Yn dit gefal, ûnder de aksje fan in lytse periodike driuwende krêft fan de meganyske systeem fertoant gaoatysk gedrach.

Yn it gefal fan in ienfâldige slinger út it lykwicht posysje mei in hoek cp optreedt tangential krêft Fτ = -mg sûnde φ swiertekrêft. "Minus" teken betsjut dat de tangential komponint rjochte yn 'e tsjinoerstelde rjochting út de rjochting fan ôfwiking fan' e slinger. As ferwizend fia pendule ferpleatsing x lâns in rûne bôge mei in radius L is gelyk oan syn angular ferpleatsing φ = x / L. De twadde wet Isaaka Nyutona, ûntwurpen foar projeksje fan de fersnellings vector en krêft jouwe de winske wearde:

mg τ = Fτ = -mg sûnde x / L

Op grûn fan dizze ratio, it is dúdlik dat de slinger in nonlinear systeem, as in krêft dy't benaderjen liedt om werom te gean nei syn lykwicht posysje, is net altyd evenredich oan de ferpleatsing x, in sûnde x / L.

Allinne as de wiskundige pendule docht lytse trillings, it is in harmonic oscillator. Mei oare wurden, it wurdt meganysk systeem by steat útfieren harmonic oscillations. Dy ûnderlinge oanpassing is jildich foar hast Angelen 15-20 °. Pendulum mei grutte amplitudes is net harmonieus.

Newton syn wet foar lytse oscillations fan in slinger

As de meganyske systeem docht lytse oscillations, 2e Newton syn wet sil der sa útsjen:

mg τ = Fτ = -M * g / L * x.

Op grûn dêrfan, kinne wy konkludearje dat de tangential fersnelling fan in ienfâldige slinger is evenredich mei syn ferpleatsing mei it teken "minus". Dit is in tastân wêrby't it systeem wurdt in harmonic oscillator. Module evenredichheid faktor tusken de ferpleatsing en de fersnelling is lyk oan it plein fan 'e angular frekwinsje:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Dit formule slút oan by de natuerlike frekwinsje fan lytse oscillations fan dit type slinger. Op dizze basis,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Berekkeningen op grûn fan de wet fan behâld fan enerzjy

Eigenskippen Oscillating pendule bewegings kinne omskreaun wurde mei help fan 'e wet fan behâld fan enerzjy. Dêrby moat betocht dat it potinsjele enerzjy fan de slinger yn in gravitasjonele fjild is:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Folsleine meganyske enerzjy is lyk oan de Kinetic en maksimale potinsjele: Epmax = Ekmsx = E

Neidat jo skreaun hawwe de wet fan behâld fan enerzjy, nimme de derivative fan lofts en rjochts kanten fan de fergeliking:

Ep + Ek = const

Sûnt it dêrfan ôflaat fan de konstanten is gelyk oan 0, dan (Ep + Ek) '= 0. It dêrfan ôflaat fan it bedrach is lyk oan de som fan de derivaten:

Ef '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2l * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= MV * α,

dêrom:

Mg / L * XV + mva = v (mg / L * x + m α) = 0.

Op grûn fan de lêste formule, wy fine: α = - g / L * x.

Praktyske tapassing fan de wiskundige pendule

Fersnelling fan frije fal ferskilt mei breedte, omdat de tichtheid fan de korst om 'e planeet net gelyk. Wêr rotsen komme mei in hegere tichtheid, dan sil in bytsje heger. Fersnelling fan matematysk pendule wurdt faak brûkt foar ferkenning. Yn syn help sjen foar ferskillende mineralen. Gewoan tellen fan it tal oscillations fan in slinger, is it mooglik om te spoaren fan de stienkoal of erts yn 'e búk fan' e Ierde. Dat komt troch it feit dat dizze middels hawwe in tichtens en gewicht fan mear as ligen ûnder de losse rotsen.

Wiskundige pendule brûkt troch sokke foaroansteande gelearden lykas Sokrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. In protte dêrfan leauden dat de meganyske systeem kinne beynfloedzje it needlot en it libben. Argimedes brûkt de wiskundige pendule mei syn berekkenings. Tsjintwurdich, in protte occultists en helderzienden brûke dizze meganyske systeem foar de útfiering fan har profetieën, of it sykjen nei missende minsken.

De ferneamde Frânsk astronoom en wittenskipper, Flammarion foar harren ûndersyk ek brûkt in wiskundige slinger. Hy bewearde dat mei syn help hy koe foarsizze de ûntdekking fan in nije planeet, it opkommen fan 'e Tunguska meteoryt, en oare wichtige eveneminten. Under de Twadde Wrâldkriich yn Dútslân (Berlyn) wurke as in spesjalisearre ynstitút fan 'e slinger. Tsjintwurdich, sa'n ûndersyk is net beskikber Munich Ynstitút fan parapsychology. Syn wurk mei de slinger de meiwurkers fan dizze ynstelling neamd "radiesteziey".