De fergeliking fan it fleantúch: how to meitsjen? Soarten plane fergelikingen

It fleantúch romte definearre wurde yn ferskate manieren (ien dot en vector, de vector en de twa punten, trije punten, ensfh). It is mei dit foar eagen, it fleantúch fergeliking kin hawwe ferskillende types. Ek ûnder bepaalde betingsten fleanmasine kin parallel, de streekrjochte, krusende, ensfh Op dizze en sil prate yn dit artikel. Wy sille leare om it algemiene fergeliking fan it fleantúch en net allinne.

De normale foarm fan de fergeliking

Stel dat R is de romte _3, dat hat in rjochthoekich koördinatestelsel XYZ. Wy definiearje in vector α, dat wurdt útbrocht út it útgongspunt O. Troch de ein fan 'e vector α tekenjen fleanmasine P dat heaks op it.

Denote P by in willekeurige punt Q = (x, y, z). It radius vector fan it punt Q teken letter p. De lingte fan de vector is lyk oan α p = IαI en Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Dizze ienheid vector, dy't rjochte is yn 'e rjochting as vector α. α, β en γ - binne hoeken dy't foarme tusken de vector en de positive rjochtings Ʋ romte bilen x, y, z respektivelik. De projeksje fan in punt op vector QεP Ʋ is in konstante dy't is gelyk oan p (p, Ʋ) = p (r≥0).

It boppesteande fergeliking is betsjuttingsfolle doe't p = 0. De ienige n fleanmasine yn dit gefal, soe oerstekke punt O (α = 0), dat is de oarsprong, en unit vector Ʋ, útbrocht út it punt O sil wêze heaks op P, alhoewol't syn rjochting, wat betsjut dat de vector Ʋ bepaald oant it teken. Foarige fergeliking is ús fleantúch P, ferwurde yn Vector formulier. Mar mei it each op syn koördinaten is:

P is grutter as of gelyk oan 0. We hawwe fûn it fleantúch fergeliking yn normale foarm.

De algemiene fergeliking

As de fergeliking yn de koördinaten fermannichfâldigje by elke nûmer dat is net gelyk oan nul, wy krije de fergeliking lykweardich oan dizze dat definiearret de hiel fleanmasine. It sil hawwe de folgjende formulier:

Hjir, A, B, C - is it oantal tagelyk oars as nul. Dy fergeliking hjit de fergeliking fan de algemiene foarm fan it fleantúch.

De fergelikingen fan de fleantugen. bysûndere gefallen

De fergeliking kin oer it algemien wurde oanpast mei oanfoljende betingsten. Tink oan guon fan harren.

Der fan út dat de Koëffisjint A is 0. Dizze jout oan dat de fleanmasine parallel oan de foarbeskaaide axis Ox. Yn dit gefal, de foarm fan de fergeliking feroaret: Wu + Cz + D = 0.

Sa ek de foarm fan fergeliking en sil fariearje mei de neikommende betingsten:

• Oan de iene kant as B = 0, de fergeliking feroarings oan Axe + Cz + D = 0, dat soe wize op de parallelism oan 'e assen Oy.
• Twads, as C = 0, de fergeliking wurdt omfoarme ta Axe + By + D = 0, dat wol sizze oer parallel oan it foarbeskaaide assen Oz.
• Tred, as D = 0, de fergeliking sil ferskine as Axe + By + Cz = 0, dat soe betsjutte dat it fleantúch intersects O (de oarsprong).
• Fjirde, as A = B = 0, de fergeliking feroarings oan Cz + D = 0, dat sil bewize te parallelism Oxy.
• Fyfde, as B = C = 0, de fergeliking wurdt Axe + D = 0, wat betsjut dat it fleantúch stiet parallel oan Oyz.
• Sixthly, as A = C = 0, de fergeliking nimt de foarm Wu + D = 0, i.e., sil ferslach útbringe oan it parallelism Oxz.

Foarm fan de fergeliking yn segminten

Yn it gefal dêr't nûmers A, B, C, D oars nul, de foarm fan fergeliking (0) kin as folget:

x / a + y / b + z / c = 1,

wêrby't in = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Wy krije as gefolch fergeliking fan it fleantúch yn stikken. Dêrby moat opmurken wurde dat dit fleanmasine sil kruse de x assen op it punt mei koördinaten (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), en Oz - (0,0, s).

Mei it each op de fergeliking x / a + y / b + z / c = 1, it is net dreech om te fisualisearjen de pleatsing fleantúch relative nei in foarbeskaaide koördinatestelsel.

De koördinaten fan de normale vector

De normale vector n oan it fleantúch P hat koördinaten dy't de coefficients fan 'e algemiene fergeliking fan it fleantúch, i.e. n (A, B, C).

Om te bepalen de koördinaten fan de normale n, is it genôch om te witten de algemiene fergeliking jûn fleanmasine.

By it brûken fan de fergeliking yn segminten, dat hat de foarm x / a + y / b + z / c = 1, lykas by it brûken fan de algemiene fergeliking kin skreaun wurde koördinaten fan in normale vector in opjûne fleantúch: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Dêrby moat opmurken wurde dat de normale vector fan it helpen te lossen ferskate problemen. De meast foarkommende problemen binne besteande út in bewiis streekrjochte of parallelle fleanmasines, de taak fan it finen fan de Angelen tusken de fleantugen of de Angelen tusken de fleantugen en rjochte linen.

Typ neffens it fleantúch fergeliking en koördinaten fan it punt normale vector

In Artilleribataljonen vector n, heaks op in jûn fleantúch, neamd normaal (normaal) nei in foarbeskaaide fleantúch.

Stel dat yn it koördinatestelsel romte (in rjochthoekich koördinatestelsel) Oxyz set:

• Mₒ punt mei koördinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
• nul vector n = A * i + B * j + C * k.

Jo moatte om meiinoar fan it fleantúch, dat rint troch Mₒ punt heaks op de normale n.

Yn de romte dy't wy kieze eltse willekeurige punt en denote M (x, y, z). Lit de radius vector fan elk punt M (x, y, z) sil wêze r = x * i + y * j + z * k, en de radius vector fan in punt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. It punt M thúsheart nei in opjûne fleantúch, as de fektoriële MₒM wurde heaks op de vector n. Wy skriuwe de betingst fan orthogonality mei help fan it scalar produkt:

[MₒM, n] = 0.

Sûnt MₒM = r-rₒ, de fektoriële fergeliking fan it fleantúch sil der sa útsjen:

[R - rₒ, n] = 0.

Dit fergeliking kin ek in oare foarm. Foar dit doel, de eigenskippen fan 'e scalar produkt, en bekearde de linker kant fan de fergeliking. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. As [rₒ, n] oantsjutten as s, wy krije de folgjende fergeliking: [r, n] - a = 0 of [r, n] = s, dy't útdrukt it constancy fan de projeksjes op 'e normale vector fan de striel-Vectors fan de opjûne punten dy't hearre fleanmasine.

No kinne jo krije it koördinatestelsel type opname fleanmasine ús vector fergeliking [r - rₒ, n] = 0. Sûnt r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, en n = A * i + B * j + C * k, wy hawwe:

It docht bliken dat wy hawwe de fergeliking wurdt foarme fleanmasine passing troch it punt heaks op de normale n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Typ neffens it fleantúch fergeliking en koördinaten fan twa punten fan de vector plane collinear

Wy definiearje twa willekeurige punten M '(x', y ', z') en M "(x", y ", z"), en ek de vector (a ', in ", in ‴).

No kinne wy skriuwe fergeliking foarbeskaaide fleanmasine dy't rint troch it besteande punt M 'en M ", en elk punt mei de koördinaten M (x, y, z) parallel oan in jûn vector.

Sa M'M Vectors x = {x ', y-y'; ZZ '} en M "M = {x" -x', y 'y'; z "-Z '} wêze moatte coplanar mei de vector a = (a ', in ", in ‴), wat betsjut dat (M'M M" M, a) = 0.

Sa ús meiinoar fan in fleantúch yn romte sil der sa útsjen:

Soarte fan fleantúch fergeliking, oerstekken fan trije punten

Litte we sizze wy hawwe trije punten: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), dy't net hearre ta de deselde rigel. It is needsaaklik om te skriuwen fergeliking fan it fleantúch passing troch de trije punten oantsjutte. mjitkunde teory stelt dat dit soarte fan tastel bestiet bestiet, it is mar ien en allinne. Sûnt dizze fleanmasine intersects it punt (x ', y', z '), syn fergeliking foarm soe wêze:

Hjir, A, B, C en binne oars as nul tagelyk. Ek jûn fleantúch intersects twa mear punten (x ", y", z ") en (x ‴, y ‴, z ‴). Yn dit ferbân moat wurde útfierd dit soarte fan betingsten:

No kinne wy meitsje der in unifoarm stelsel fan fergelikingen (lineêre) mei unknowns u, v, w:

Yn ús gefal x, y of z stiet willekeurige punt dêr't voldoet fergeliking (1). Oerwagende fergeliking (1) en in systeem fan fergelikingen (2) en (3) it systeem fan fergelikingen oanjûn yn 'e figuer boppe, de vector voldoet N (A, B, C) dat is nontrivial. It is omdat de determinant fan it systeem is nul.

Fergeliking (1), dat wy ha, dit is de fergeliking fan it fleantúch. 3 punt se echt giet, en it is maklik om te kontrolearjen. Om do dit, wy útwreidzje de determinant troch de eleminten yn de earste rige. Fan de besteande eigenskippen determinant folget dat ús fleantúch tagelyk intersects de trije oarspronklik foarbeskaaide punt (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Dus wy besletten om taak foar ús.

Dihedral hoeke tusken de fleantugen

Dihedral hoeke is in romtlik geometryske foarm foarme troch twa heal-fleantugen dy't emanate út in rjochte line. Mei oare wurden, in part fan 'e romte dat is beheind ta de heal-fleantugen.

Oannommen, wy hawwe twa fleantúch mei de neikommende fergelikingen:

Wy witte dat de vector N = (A, B, C) en N¹ = (¹, H¹, S¹), neffens foarbeskaaide fleantugen binne heaks. Yn dat ferbân wurdt de hoeke φ tusken Vectors N en N¹ gelikense hoeke (dihedral), dat leit tusken dizze fleantugen. De scalar produkt wurdt jûn troch:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

krekt omdat

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (ಠ+ s² + V²)) * (√ (¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

It is genôch om te beskôgje dat 0≤φ≤π.

Eins twa fleantugen dy't elkoar kruse, form twa hoek (dihedral): φ ₁ en φ _2. Harren sum is gelyk oan Tal (φ ₁ + φ ₂ = π). As foar harren cosines, harren absolute wearden binne gelyk, mar se binne ferskillende tekens, dat wol sizze, cos φ ₁ = -cos φ _2. As yn de fergeliking (0) wurdt ferfongen troch A, B en C fan -A, -B en -C respektivelik, de fergeliking, wy krije, sille bepale itselde fleantúch, de ienige hoeke φ yn fergeliking cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | It sil wurde ferfongen troch π-φ.

De fergeliking fan de streekrjochte plane

Neamd heaks fleantúch, tusken dêr't de hoeke is 90 graden. Mei help fan it materiaal presintearre hjirboppe, kinne wy fine de fergeliking fan in fleanmasine heaks op 'e oare. Stel, wy ha twa fleantugen: Axe + By + Cz + D = 0, en + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Wy kinne sizze dat se lykwols as cos = 0. Dat betsjut dat NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

De fergeliking fan in parallelle fleanmasine

It oantsjutten twa parallelle fleantugen dy't befetsje gjin punten mien.

De tastân fan de parallelle fleantugen (harren fergelikingen binne itselde as yn 'e foarige alinea) is dat de Vectors N en N¹, dy't heaks op harren, collinear. Dat betsjut dat de neikommende betingsten foldien evenredichheid:

A / ¹ = B / C = H¹ / S¹.

As de evenredich termen wurde útwreide - A / ¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

dit jout oan dat de gegevens flak fan itselde. Dat betsjut dat fergeliking Axe + By + Cz + D = 0 en + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 beskriuwe ien fleantúch.

De ôfstân fan punt nei plane

Stel, wy hawwe in fleanmasine P, dat wurdt jûn troch (0). It is needsaaklik om te finen de ôfstân fan it punt mei koördinaten (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Jo moatte bringe de fergeliking yn it fleantúch II normale uterlik om it:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Yn dit gefal, ρ (x, y, z) is de radius vector fan ús punt Q, leit oan n p - n is de lingte fan de streekrjochte, dat frijkaam út de nul punt, v - is de ienheid vector, dat is regele yn de rjochting a.

It ferskil ρ-ρº radius vector fan in punt Q = (x, y, z), hearrend ta n en de radius vector fan in opjûne punt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) is sa'n vector, de absolute wearde fan de projeksje fan dêr't op v is lyk oan de fierte d, dat is nedich om te finen út Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) oan P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, mar

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Sa It docht bliken,

d = | (ρ ^0, v) p |.

No is it dúdlik dat te berekkenjen de ôfstân d fan ₀ oant Q plane P, is it nedich om te brûken normale werjefte fleanmasine fergeliking, de ferskowing nei lofts fan p, en it lêste plak fan x, y, z ferfanger (hₒ, uₒ, zₒ).

Sa, we fine de absolute wearde fan it úteinlike útdrukking dat is nedich d.

Mei help fan de parameters fan taal, wy krije it foar de hân:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (ಠ+ V² + s²).

As de oantsjutte punt Q ₀ stiet oan 'e oare kant fan it fleantúch P as de oarsprong, dan tusken de vector ρ-ρ ⁰ en v is in obtuse hoeke, dus:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -P> 0.

Yn it gefal doe't it punt Q ₀ yn gearhing mei de oarsprong leit oan deselde kant fan de U, de akute hoek wurdt makke, dat is:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

It gefolch is dat yn de eardere gefal (ρ ^0, v)> p, yn it twadde (ρ ^0, v)

En syn tangint plane fergeliking

Oangeande de fleantúch nei it oerflak op it punt fan tangency Mº - in fleanmasine mei dêryn alle mooglike tangint oan 'e bocht lutsen troch dat punt oan' e oerflakte.

Mei dit oerflak foarm fan de fergeliking F (x, y, z) = 0 yn de fergeliking fan de tangens fleantúch tangint punt Mº (hº, ûº, zº) soe wêze:

F _x (hº, ûº, zº) (hº x) + F _x (hº, ûº, zº) (ûº y) + F _x (hº, ûº, zº) (z-zº) = 0.

As de oerflakte is ynsteld eksplisyt z = f (x, y), dan de tangens fleanmasine wurdt beskreaun troch de fergeliking:

z-zº = f (hº, ûº) (hº x) + f (hº, ûº) (y ûº).

It krúspunt fan twa fleanmasines

Yn trijediminsjonale romte is in koördinatestelsel (rjochthoekige) Oxyz, jûn twa fleantugen P 'en P' dy't oerlaapje en net gearfalle. Sûnt eltse fleantúch, dat is yn in rjochthoekich koördinatestelsel bepaald troch de algemiene fergeliking, wy der fan út dat n 'en n "wurde definiearre troch de fergelikingen A'x + V'u S'z + + D' = 0 en A" + B x '+ y mei "z + D" = 0. Yn dat gefal hawwe wy normale n '(A', B ', c') fan it fleantúch P 'en de normale n "(A", B ", C") fan it fleantúch P'. As ús fleantúch wurde net parallel en net gearfalle, dan dizze Vectors binne net collinear. Mei help fan de taal fan de wiskunde, wy hawwe dy tastân kin skreaun wurde as: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * En", λ * Yn ", λ * C"), λεR. Lit de rjochte line dy't leit op de krusing P 'en P ", wurdt oantsjutten mei de brief in, yn dit gefal in = P' ∩ P".

en - in rigel besteande út in mearfâldichheid fan punten (mienskiplike) fleanmasines P 'en P ". Dat betsjut dat de koördinaten fan in punt dy't ta de line a, moatte tagelyk foldwaan de fergeliking A'x + V'u S'z + + D '= 0 en A "x + B' + C y" z + D "= 0. Dat betsjut dat de koördinaten fan it punt sil in bepaalde oplossing fan de folgjende fergelikingen:

It resultaat is dat de oplossing (totale) fan dit systeem fan fergelikingen sille bepale de koördinaten fan elk fan 'e punten op' e line dy't sil hannelje as de punt fan de krusing P 'en P ", en bepale in rigel yn in koördinatestelsel Oxyz (rjochthoekich) romte.