Wat is arithmetic? Fûnemintele stelling fan rekkenjen. binêre arithmetic

Wat is arithmetic? Wannear't minsklikheid begûn te brûken sifers en wurkje by hjarren is? Wêr binne har woartels fan it deistich begripen lykas nûmers, fraksjes, subtraction, neist en fermannichfâldigjen, dy siele hat makke in yntegraal part fan syn libben en outlook? Gryksk koppen bewûndere sokke wittenskippen lykas de wiskunde, rekkenjen en mjitkunde, as in moaie symfony fan minsklike logika.

Miskien math is net sa djip as de oare wittenskippen, mar wat soe der barre mei harren, minsken ferjit de elemintêre multiplication tafels? Bekend om ús logyske tinken, mei help fan nûmers, fraksjes, en oare ark te jaan minsken in hurde tiid, en foar langere tiid wie net beskikber foar ús foarâlden. Yn feite, foar de ûntwikkeling fan arithmetic gjin gebiet fan 'e minsklike kennis wie net echt wittenskiplik.

Arithmetic - Wiskunde is it alfabet

Arithmetic - de wittenskip fan nûmers, dêr't alle yndividu begjint de kunde rekke mei de fassinearjende wrâld fan de wiskunde. Yn 'e wurden fan M. V. Lomonosov, rekkenjen - dit is de poarte fan learen, it iepenjen fan de wei foar ús te Miropoznanie. Mar hy is rjocht, is kennis fan 'e wrâld ôfskaat wurde kin út' e kennis fan letters en sifers, wiskunde en spraak? Faaks yn 'e âlde dagen, mar net yn' e moderne wrâld, dêr't de flugge ûntwikkeling fan de wittenskip en technology makket syn eigen wetten.

It wurd "arithmetic" (Gk. "Arifmos") fan Gryksk komôf, betsjut "getal". It giet yn op de nûmer en alles hwet kin wurde ferbûn mei harren. Dat is de wrâld fan de nûmers: ferskate operaasjes op nûmers, numerike regels, de taken dy't yn ferbân brocht mei it fermannichfâldigjen, subtraction, ensfh ..

It generaal wurdt oannaam dat de earste stap is de rekkenkunde Wiskunde en solide basis foar de komplekser syn Seksjes, lykas algebra, wiskundige analyze, hegere wiskunde en t. D.

De wichtichste objekt fan arithmetic

De basis fan arithmetic - is in hiel getal, eigenskippen en wetten dy't wurde sjoen as it heechste arithmetic of getalteory. Yn feite, hoe't it rjocht oanpak wurdt nommen yn ôfwaging fan sa'n lytse ienheid, as in natuerlik getal ôfhinklik fan de eigen krêft fan it gebou - wiskunde.

Dêrom is de fraach dy't rekkenkunde, it antwurd is simpel: it is de wittenskip fan de nûmers. Ja, oer it wenstige saun, njoggen, en alles fan dit ferskaat mienskip. En krekt likegoed, en de meast midsmjittige fersen kinne net skriuwe sûnder basis alfabet, sûnder rekkenjen kin net oplost sels fûnemintele taken. Dêrom alle wittenskip hawwe advanced pas nei de ûntwikkeling fan de rekkenkunde en wiskunde, dat foarste plak in set fan útgongspunten.

Arithmetic - Science-ghost

Wat is arithmetic - natuerwittenskip of in spoek? Yn feite, as de âlde Grykske filosofen motivearre, gjin nûmers, gjin figueren yn it echt bestiet net. It is mar in drôchbyld, dy't ûntstiet yn it minsklik tinken as it besjen fan it miljeu en de prosessen. Yn feite, wat is it nûmer? Nearne hinne we net sjogge neat as dat koe wurde neamd it nûmer, earder, it oantal - it is in manier om ferkenne de wrâld fan 'e minsklike geast. Faaks dit ûndersyk hawwe wy binnen harsels? Filosofen pleitsje oer dit foar in protte ieuwen yn in rige, sa te jaan in alles omfiemjend antwurd wy net ûndernimme. Beide wei, it rekkenjen koe sa stevich nimme harren posysje yn 'e moderne wrâld gjin ien kin beskôge wurde maatskiplik oanpast sûnder de kennis fan syn fûneminten.

As der in positive integer

Fansels, it wichtichste objekt fan dat eksploitearret rekkenkunde, - natuerlik getal lykas 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... ensfh Arithmetic fan natuerlike getallen is it gefolch fan 'e kosten fan gewoane objekten, lykas kij yn' e greide. Noch, de definysje fan "in protte" of "in bytsje", as him wat hat opholden te hâlden minsken, en moast útfine mear ferfine tellen technyk.

Mar de echte trochbraak kaam doe't it minsklik ferstân hat berikt it punt dat kin ien en itselde oantal "twa" as oantsjutting foar en 2 kg, en 2 bakstien en 2 dielen. It feit dat it needsaaklik is om abstrakte út 'e foarmen, eigenskippen en betsjutting fan objekten, dan kinne wy produsearje wat aksje mei dizze objekten yn' e foarm fan positive integers. Sa waard berne de rekkenkunde fan nûmers, dat wurdt fierder ûntwikkele en ferbrede yn it ynnimmen fan in stânpunt yn 'e maatskippij.

Sokke in djipgeande it begryp getal, as nul en negative getallen, fraksjes, nûmers ferwize nei de nûmers op oare wizen, hawwe in rike en nijsgjirrige skiednis fan ûntwikkeling.

Arithmetic en praktyske Egyptners

Twa âlde minsklike maat yn 'e stúdzje fan' e wrâld en it oplossen fan alledeiske swierrichheden - dat rekkenboek en mjitkunde.

Der wurdt fan útgien dat de skiednis fan 'arithmetic hat syn oarsprong yn de Ancient East: Yndia, Egypte, Babel en Sina. Dus, Rhind papyrus Egyptyske komôf (sa neamd om't deselde namme dy't ta de eigener), datearret út 'e XX ieu. BC, neist oare weardefolle gegevens omfiemet de útwreiding fan in fraksje yn it bedrach fan fraksjes mei ferskillende denominators en numerator lyk oan ien.

Bygelyks: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Mar wat is de betsjutting fan sa'n kompleks ûntleden? It feit dat de Egyptyske oanpak net ferneare abstracted tinken oer sifers, krekt oarsom, de berekkeningen waarden makke allinne foar praktyske doelen. Dat is, de Egyptners sille dwaande mei sa'n bedriuw as berekkenings, allinnich om de bou fan it grêf, bygelyks. It wie nedich om te berekkenjen de lingte fan 'e fin struktuer, en dat makke in persoan te sitte papyrus. Sa't bliken docht, de Egyptyske foarútgong yn de berekkenings waard neamd, nochal grut, bouwen, yn stee fan in leafde fan 'e wittenskip.

Om dy reden, berekkeningen fûn op papyri, kin net neamd skriuwer op it ûnderwerp fan de fraksjes. Nei alle gedachten, it is in praktyske tarieding, dy't holp om fierder oplossen problemen mei fraksjes. De âlde Egyptners wist net it fermannichfâldigjen tafel, produsearre in frij lange berekkenings, útspriede yn in protte subtaken. Faaks dit is ien fan dy subtaken. It is maklik om te merken dat de berekkenings mei dizze blanks is tige tiidslinend en net tige kânsryk. Faaks foar dizze reden wy net sjogge in grutte bydrage oan de ûntwikkeling fan de âlde Egyptyske wiskunde.

It âlde Grikelân en de filosofyske arithmetic

In protte fan 'e kennis fan' e Ancient East waarden mei súkses behearsket troch de âlde Griken, bekend om fans fan abstrakte, abstrakte en filosofyske spegelbyld. Oefenje harren ynteressearre yn neat minder mar de bêste teoretisy en sosjale wittenskippers binne dreech te finen. It wie goed foar wittenskip omdat math is net mooglik om te gean djip, net skuorre it mei de realiteit. Fansels is it mooglik om fermearderje de 10 kij en 100 liter molke, mar net by steat wêze om te ferhúzjen fier.

Griken tinken djip lofts in wichtige mark in skiednis, en harren wurken binne ta ús:

• Euclid en "eleminten".
• Pytagoras.
• Argimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaksagoras.

En, fansels, draait alle filosofy fan 'e Griken, en benammen de folgelingen fan Pytagoras gefallen wiene sa fol fjoer oer de sifers, dy't it harren in mystearje wrâld harmony. De nûmers binne sa bestudearre en ûndersocht, dat guon fan har en harren breidspearen taskreaun spesjale eigenskippen. Bygelyks:

• Perfect numbers - dyjingen dy't de som fan al syn divisors útsein it nûmer sels (6 = 1 + 2 + 3).
• Friendly numbers - dy oantallen, ien dêrfan is de optelsom fan alle divisors fan de twadde en oarsom (Pytagoreysks kenne mar ien sa'n pear: 220 en 284).

De Griken, dy't leaude dat wittenskip wurde moat ús, net te wêzen by har om 'e wille fan' e winst, hawwe makke grutte stappen, ferkenne, spyljen en it tafoegjen fan nûmers. Dêrby moat betocht wurde dat net allegear fan harren ûndersyk hawwe in soad brûkt wurdt, guon fan harren wiene allinne "foar skientme."

Eastern tinkers fan de Midsieuwen

Sa ek yn de Midsieuwen rekkenkunde it tanket syn ûntwikkeling oan 'e eastlike tiidgenoaten. De yndianen joegen ús de sifers dy't wy aktyf brûke sa'n ding as "nul", en de posysje fariaasje berekkenjen systeem, de wenstige moderne waarnimming. Ut Al-brij, dy't yn de 15e ieu wurke yn Samarkand, wy hawwe fererve de komma, sûnder dat it is dreech foar te stellen moderne rekkenjen.

Yn in soad manieren, Europa 'e kunde mei de prestaasjes fan it Easten is mooglik makke tanksij it wurk fan de Italjaanske wittenskipper Leonardo Fibonacci, dy't skreau in boek "Liber Abaci", acquainting mei easterske ynnovaasjes. It is wurden de hoekstien fan de ûntwikkeling fan de algebra en rekkenjen, ûndersyk en wittenskiplike aktiviteiten yn Europa.

russian arithmetic

Ta beslút, rekkenjen, hat fûn syn plak en woartele yn Europa, begûn te spriede op Russyske lân. Russysk earste arithmetic publisearre yn 1703 - it wie in boek oer arithmetic Leontiya Magnitskogo. Foar in lange tiid wie it de ienige tutorial yn de wiskunde. It befettet de oarspronklike stuiten fan algebra en mjitkunde. De bylden, dy't brûkt waarden yn 'e foarbylden fan Ruslâns earste leerboek fan rekkenjen, Arabysk. Hoewol't Arabysk numerals hawwe moete earder, yn 'e gravueres stamt út de 17e ieu.

It boek sels is fersierd mei bylden fan Archimedes en Pytagoras, en op 'e earste side - image arithmetic as in frou. Se sit op 'e troan, ûnder it is skreaun yn it Hebrieusk wurd foar de namme fan God, en op' e stappen dy't liede ta it alter, op skreaun mei it wurd "ôfdieling", "ferheging", "neist", ensafuorthinne. D. Ien kin allinnich yntinke hokker wearde ferrette sokke wierheden, dy't tsjintwurdich beskôge as gewoan.

It learboek fan 600 siden beskriuwt as de basis fan as oanfolling en fermannichfâldigjen tafels, en applikaasjes foar navigaasjehelpmiddel wittenskippen.

Net ferrassend, de skriuwer hat keazen foar it byld fan 'e Grykske tinkers foar syn boek, om't er sels waard de ban troch de skientme fan rekkenkunde, sizzende: "Rekenen hat chislitelnitsa der bist tsjep, nezavistnoe ...". Dizze oanpak fan arithmetic grûndearre is, want it is syn wiidferspraat fêststelling kin beskôge it begjin fan 'e flugge ûntwikkeling fan de wittenskiplike tinken yn Ruslân en it algemiene ûnderwiis.

uneasy primes

Prime getal - it is in natuerlike getal, dat is mar 2 positive divisors: 1 en sels. Alle oare getallen, útsein 1 hjit gearstalde. Foarbylden fan Prime nûmers: 2, 3, 5, 7, 11, en alle oaren dy't gjin divisors oars as 1 en it oantal sels.

As foar de nûmer 1, it is op in premium - der is akkoart dat it moat beskôge wurde noch simpel noch COMPOUND. Simple op it earste eachopslach, in ienfâldige oantal ferberget in protte Unsolved geheimen binnen harsels.

Euclid syn stelling seit dat in ûneinige oantal primes, en Eratosthenes kaam mei in spesjale arithmetic "sieve", dy't elimineert komplisearre nûmers, wêrtroch allinnich simpel.

Syn essinsje is te beklamje undelete it earste nûmer, en yn de dêrop folgjende opfallend út dyjingen dy't multiples derfan. Wy herhelje dizze proseduere ferskate kearen - en helje der in tafel fan Prime nûmers.

Fûnemintele Stelling fan arithmetic

Under de waarnimmingen oer Prime nûmers moatte spesjaal iepentlik oer de basis rekkenkunde stelling.

Basic rekkenboek stelling stelt dat eltse hiel getal grutter as 1, of in ienfâldige of it kin decomposed yn in produkt fan Prime nûmers oant 'e folchoarder fan' e werhelling faktoaren, de ienige manier.

Fûnemintele Stelling fan arithmetic blykte frij omslachtich, en it begryp is it net leuk krekt de basis.

Op het eerste gezicht, de minister-nûmers - elemintêre begryp, mar it is it net. Natuerkunde ek ienris beskôge elemintêre atoom, oant hja fûn binnen in hielal. Primes droech in moaie ferhaal wiskundige Don Zagier "De earste fyftich miljoen Prime nûmers."

Ut de "trije appels" to deductive wetten

Dat wier kin neamd wurde in fersterke fûnemint fan alle wittenskip - de wetten fan rekkenjen. Sels as bern al de rekkenkunde gesicht, bestudearret it oantal skonken en earms by de poppen, it oantal blokjes, appels ensafuorthinne. D. Sa wy studearje rekkenjen, dy't dan fierder yn komplekser regels.

Us hiele libben yntrodusearret ús oan 'e regels fan rekkenkunde, dat wienen foar de gewoane man de nuttichste fan al dy wittenskip jout. De stúdzje fan de nûmers - it is "Rekenen-baby", dy't yntrodusearret minske oan 'e wrâld fan nûmers as sifers yn iere bernetiid.

Hegere Rekenen - deductive wittenskip dy't bestudearret de wetten fan rekkenjen. De measte fan harren wy kenne, al is miskien wy net kenne harren krekte formulearring.

De wet fan 'addition en multiplication

Eltse twa integers a en b kin útdrukt wurde as de som fan in + b, dat ek in natuerlike nûmer. Oangeande de tafoeging, de folgjende wetten:

• Commutative, dat seit dat de permutation fan 'e termen plakken bedrach net feroaret, of in + b = b + a.
• Assosjatyf dy't sei bedrach net ôfhinklik is fan 'e wize fan groepearjen de betingsten yn plakken, of in + (b + c) = (a + b) + c.

Regels fan rekkenjen, sa as oanfolling, - ien fan 'e basis, mar se wurde brûkt wurde alle wittenskip, net te ferjitten it deistich libben.

Eltse twa integers a en b kin útdrukt wurde yn it produkt of in b * a * b, dat ek in natuerlike nûmer. Ta te passen it produkt deselde commutative en assosjative wetten lykas oan 'e tafoeging fan:

• a * b = b * a;
• in * (b * c) = (a * b) * c.

It is nijsgjirrich dat der in wet, dy't kombinearret neist en fermannichfâldigjen, ek bekend as in distribúsje of distributyf wet:

a (b + c) = AB + ac

Dizze wet leart ús om te wurkjen mei heakjes, opening se, sa kinne wy al wurkje mei mear komplekse formules. Dat binne de wetten dy't sil liede ús troch de skildereftich, mar komplekse wrâld fan algebra.

Law rekkenboek folchoarder

oer de wetten fan 'e minsklike logika dat brûkt elke deis, kontrolearje syn horloazje en it tellen fan de rekkens. En, dochs, en dat moat wurde makke yn in spesifike taal.

As wy hawwe twa positive integers a en b, dan de neikommende opsjes:

• a is gelyk oan b, of in = b;
• in minder as b, of in
• in grutter is as b, of in> b.

Fan de trije opsjes krekt kin mar ien. De Basic Wet, dat bestjoert de proseduere, sei: As in

Der binne ek wetten dy't bine de aksjes fan 'e folchoarder fan oanfolling en flere: As in

De wetten fan arithmetic learde ús om te wurkjen mei nûmers, buorden en heakjes, turning alles yn in harmoanyske symfony fan nûmers.

Mindere en nonpositional nûmering systeem

Wy kinne sizze dat de nûmers - dit is de taal fan de wiskunde, út it gemak fan dat hinget fan in soad saken. Der binne in soad systemen fan berekkening, dat, lykas de alfabetten fan ferskillende talen ferskille.

Tink oan it nûmer systeem út de punt fan it effekt posysjes op de kwantitative wearde fan it sifer yn dizze posysje. Bygelyks, Romeinske systeem is nonpositional dêr't elk getal is kodearre troch in spesifike set fan spesjale tekens: I / V / X / L / C / D / M. Sy binne, respektivelik, de nûmers 1/5/10/50/100/500 / 1000. Yn dit systeem, de figuer net feroaret syn kwantitative bepaling, ôfhinklik op hokker posysje it moat: .. De earste, twadde, ensfh Om krijen de oare getallen, is it nedich om te foarsjen yn de basis. Bygelyks:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mear fertroud mei ús numeral systeem mei help Arabysk numerals is mindere. Yn sa'n systeem it oantal foarûntlading definiearret it oantal sifers, bygelyks, trije-sifer numbers: 333, 567, ensfh It gewicht fan 'ien fan de floed hinget op in stânpunt wêrop it figuer is ien of de oare, bygelyks figuer 8 yn de twadde posysje hat in wearde fan 80. It is typysk foar de desimale stelsel, der binne ek oare mindere systeem lykas binêr.

binêre arithmetic

Wy binne bekende desimale stelsel, besteande út ien-bit en multi-bit nûmers. De figuer oan de linkerkant in de sifers is tsien kear grutter yn belang oan 'e iene op' e rjochterkant. Sa, we wend om te lêzen 2, 17, 467, ensafuorthinne. D. It is in oare logika en oanpak diel, dat hjit "binêre rekkenjen." Dat is net sa frjemd, want binêre rekkenjen is net makke foar de minsklike logika, en foar de kompjûter. As de rekkenkunde fan de oantallen ûntstien út de tellen, dy't fierder abstracted út it ûnderwerp wenning oan "neaken" arithmetic, dan dit sil net wurkje mei jo kompjûter. Om yn steat te dielen harren kennis mei de kompjûter, in man moast útfine in model berekkening.

Binary arithmetic wurket mei de binaire alfabet, dy't bestiet inkeld út 0 en 1. En it brûken fan dit alfabet hjit in binêr systeem.

Oars as binêre rekkenboek desimale dat it belang fan 'e posysje fan lofts binne net mear 10, en 2 kear. Binêre oantallen binne fan de foarm 111, 1001 ensafuorthinne. D. Hoe moatte wy begripe dizze nûmers? Sa, wy beskôgje it nûmer 1100

1. It earste sifer op de linker - 1 * 8 = 8, dragende yn gedachten dat de fjirde sifer, wat betsjut dat it moat wêze fermannichfâldige troch 2, wy krije de 8 posysje.
2. Twadde sifer 1 * 4 = 4 (posysje 4).
3. De tredde sifer 0 * 2 = 0 (posysje 2).
4. De fjirde sifer 0 * 1 = 0 (posysje 1).
5. Sa ús nûmer 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Dat is, de oergong nei in nije kategory lofts fan syn betsjutting yn de binaire systeem wurdt fermannichfâldige mei 2 en de desimale - oant 10. Sa'n systeem hat ien nadeel: it is te grut groei bits dy't nedich binne om te opnimme nûmers. Foarbylden desimale nûmers dvochinyh as kin sjoen wurde yn de neikommende tabel.

Desimaal nûmer binne fertsjintwurdige yn binêre formulier hjirûnder.

It wurdt ek brûkt octal, en heksadesimale nûmering systeem.

Dat mysterieuze arithmetic

Wat is arithmetic, "twa plus twa" of nije geheimen fan nûmers? Sa't jo sjen kinne, rekkenjen, kin, en it liket op it earste oansjen in ienfâldich, mar it is net fanselssprekkend deceptive gemak. It is mooglik om te studearjen bern, en tegearre mei Muoike Owl út de cartoon "Rekenen-baby", en jo kinne Dûk yn 'e djippe wittenskiplik ûndersyk hast filosofysk folchoarder. Yn de skiednis hat it gien fan tellen foarwerpen te oanbidden de skientme fan de nûmers. Ien ding is wis: mei de oprjochting fan 'e fûnemintele postulates fan rekkenjen, alle wittenskip kin in berop dwaan op har sterke skouder.