Hoe te berekkenjen it gebiet fan in pyramide: de basis, kant en fol?

Yn tarieding op it eksamen yn wiskunde studinten moatte systematize de kennis fan algebra en mjitkunde. Ik soe graach kombinearje alle bekende ynformaasje, lykas hoe te berekkenjen it gebiet fan in piramide. Boppedat, útgeande fan 'e boaiem en kant faces oant it hiele oerflak. As de kant stiet foar de situaasje is dúdlik, sa't se binne trijehoekjes, de basis is altyd oars.

Hoe te wêzen doe't it gebiet fan 'e basis fan de piramide?

It kin wêze hielendal gjin figuer út in willekeurige trijehoek nei de n-gon. En dy basis, útsein it ferskil yn it tal Angelen, kin korrekt of ynkorrekt figuer. Yn it belang fan de studinten taken op it eksamen fûn allinnich banen mei de korrekte figueren yn de basis. Dêrom, wy sille mar prate oer harren.

equilateral trijehoek

Dat is equilateral. Ien dat alle partijen binne gelyk en binne oanwiisd troch de letter "a". Yn dit gefal, de basis gebiet fan de piramide wurdt berekkene troch de formule:

S = (a ² * √3) / 4.

fjouwerkant

De formule te berekkenjen syn gebiet is it simpelste, is "in" - kant is wer:

En S = ^2.

Willekeurige reguliere n-gon

Oan de sydkanten fan de mearhoeke deselde oantsjutting. Foar it oantal Angelen brûkte Latynske letter n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Hoe te fieren yn de berekkening fan it gebiet fan de opskowde en folsleine oerflak?

Sûnt de basis figuer just is, dan al de gesichten fan de piramide binne gelyk. Elts wêrfan is in isosceles trijehoek, sûnt de kant rânen binne gelyk. Dan, om te berekkenjen it gebiet fan in kant fan de piramide nedich formule besteande út de som fan monomials identyk. It oantal termen wurdt bepaald troch de hichte fan de basis kanten.

It gebiet fan in isosceles trijehoek wurdt computed troch de formule dêr't de helte fan de basis produkt wurdt fermannichfâldige troch de hichte. Dy hichte yn de piramide neamd apothem. Its oantsjutting - "A". De algemiene formule foar it gebiet fan de opskowde oerflak is as folget:

S = ½ P * A, dêr't P - perimeter fan 'e basis fan de piramide.

Der binne tiden dat der is net bekend oan de basis kant, mar de kant rânen wurde (a) plat en de hoeke by de apex (α). Dan is it fertrout brûke de folgjende formule te berekkenjen de opskowde gebiet fan de pyramide:

S = n / 2 oant ² * sûnde α.

Taak № 1

Betingst. Fine it totale oerflak fan de piramide, werom as de basis is in equilateral trijehoek mei in kant fan 4 sm en hat de wearde √3 apothem sm.

Beslút. It moat begjinne mei de berekkening fan 'e basis perimeter. Sûnt dit is in regelmjittige trijehoeke, dan P = 3 * 4 = 12 sm apothem Lykas bekend, men kin fuortendaliks berekkene it gebiet fan 'e hiele lateraal oerflak :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Om krijen de basis trijehoek is de wearde fan it gebiet (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Fêst te stellen it hiele gebiet moatte fold de twa dy't fuortkomme wearden: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Antwurd. 10√3 ^cm2.

Probleem № 2

Betingst. Der is in regelmjittige quadrangular piramide. De lingte fan de basis is gelyk oan 7 mm, de opskowde râne - 16 mm. Jo moatte witte har oerflak gebiet.

Beslút. Sûnt it polyhedron - rjochthoekich en korrekt, op syn basis is in plein. Gehoar basis gebiet en opskowde kanten kinne rekkenje op de fjouwerkante piramide. De formule foar it plein wurdt jûn boppe. En ik wit al de kant gesichten fan 'e trijehoek. Dêrom, kinne jo gebrûk meitsje fan Heron syn formule foar it berekkenjen fan harren gebieten.

De earste berekkenings binne ienfâldich en liede ta dit nûmer: 49 mm ^2. Om berekkenjen de twadde wearde nedich semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. No we kinne it gebiet fan in isosceles trijehoek: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Der binne fjouwer trijehoeken, sa as it berekkenjen fan de definitive nûmers sille moatte wurde fermannichfâldige mei 4.

Verkregen: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Antwurd. 267,576 winske wearde fan ² mm.

Taak № 3

Betingst. By gewoane quadrangular piramide is nedich om te berekkenjen it gebiet. It is bekend kant fan it plein - 6 sm en hichte - 4 cm.

Beslút. De maklikste manier om brûk de formule oan it produkt fan de perimeter en apothem. De earste wearde wurdt fûn gewoan. De twadde in bytsje hurder.

We sille moatte bitinke de stelling fan Pytagoras, en rekken in rjocht trijehoek. It wurdt foarme troch de hichte fan de piramide en apothem, dat is de hypotenusa. De twadde skonk is de helte fan de kant fan it plein, as polyhedron hichte falt yn 'e midden derfan.

Favoured apothem (de hypotenusa fan in rjocht trijehoek) is gelyk oan √ ⁽² maart + 4 ²⁾ = 5 (sm).

No is it mooglik om te berekkenjen de winske wearde: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (sm ^2).

Antwurd. 96 cm ^2.

Probleem № 4

Betingst. Dana geregeldwei hexagonal piramide. De kanten fan syn basis gelyk oan 22 mm, de opskowde rânen - 61 mm. Wat is it gebiet fan de opskowde oerflak fan dit polyhedron?

Beslút. It ferstân dêryn binne itselde lykas beskreaun yn de taak №2. Allinne de piramide wie jûn dêr nei it plein by de basis, en no is it in hexagon.

De earste stap wurdt berekkene troch de basis gebiet fan boppesteande formule ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

No moatte jo te finen heal-perimeter fan in isosceles trijehoek, dat is in kant gesicht. (22 + 61 * 2) :. = 72 sm 2 bliuwt op Heron syn formule te berekkenjen it gebiet fan elk fan 'e trijehoek, en dan fermannichfâldigje dat troch seis fold en dyjinge dy't draaide út nei de basis.

Berekkeningen op Heron syn formule: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 sm ^2. De berekkeningen dy't sil foarsjen lateraal oerflak: 660 * 6 = 3960 cm ^2. It bliuwt te foegjen se omheech te finen út 'e hiele oerflak: 5217,47≈5217 cm ^2.

Antwurd. Grûnen - 726√3 cm ^2, de kant oerflak - 3960 cm ^2, it hiele gebiet - 5217 cm ^2.