Fourier nederlanders. Fast Fourier nederlanders. Diskrete Fourier nederlanders

Fourier omfoarming - transformaasje, omgong fan in bepaalde funksje fan in echte fariabele. Dizze wiziging is elke kear wy waarnimme ferskillende lûden. Ear produsearret automatyske "berekkening", dy't foldogge oan ús bewustwêzen kin allinnich nei it ûndersyk nei de seksje fan hegere wiskunde. gehoar oargel yn in minsklike metamorfoaze Constructs, dêr't it lûd (konvinsjonele vibrational moasje fan dieltsjes yn in elastisch medium, dy't útdrage yn wave foarm yn 'e fêste, floeiber of gasfoarmige medium) wurdt foarsjoen yn in oanbod fan oerwinnings wearden fan it folume nivo fan toanen fan ûngelikense hichten. Nei dit, it brein draait de ynformaasje yn alle bekende lûd.

Wiskundige Fourier nederlanders

Konverzje fan lûd weagen of oare trillingspatroan prosessen (troch ljochtútstjit en oceaan tide en ta Stellar of sinnestream fytst) kinne útfierd wurde en troch de wei fan wiskundige metoades. Sa, mei help fan dy techniken, de funksjes kin útwreide wurde troch ynfiering vibrational prosessen set fan kronkelige komponinten, i.e. wavy bochten dy't geane út in minimum oan in maksimum en dan wer ta in minimum, lykas de weach fan de see. Fourier transformaasje - transformaasje funksje dy't beskriuwt de faze of befieming fan eltse sinusoid oerienkomme mei in bepaalde frekwinsje. Faze is in begjinpunt fan 'e bocht, en de amplitude - fan syn hichte.

Fourier nederlanders (foarbylden binne werjûn yn 'e foto) is in tige krêftige tool, dy't brûkt wurdt yn ferskate fjilden fan wittenskip. Yn guon gefallen, it wurdt brûkt as in oplossing nochal komplekse fergelikingen dy't beskriuwe de dynamyske prosessen foarkommend ûnder de ynfloed fan ljocht, waarmte of elektryske enerzjy. Yn oare gefallen, dan kinne jo bepale reguliere komponinten yn komplekse waveforms, fanwege dat kin wier wêze te ynterpretearjen ferskate eksperimintele observaasjes yn skiekunde, medisinen en astronomy.

histoaryske ynformaasje

De earste persoan ta te passen dizze metoade wie de Frânske wiskundige Zhan Batist Fure. Ferbouwing, dêrnei nei him neamd, waard oarspronklik brûkt foar it beskriuwen fan de waarmte conduction meganisme. Fourier syn hiele folwoeksen libben dwaande mei it bestudearjen fan de eigenskippen fan de waarmte. Hy makke in enoarme bydrage oan de wiskundige teory fan it fêstlizzen fan de woartels fan it algebraic fergelikingen. Fourier wie in heechlearaar yn de analyze oan de École Polytechnique, de sekretaris fan it Institute of Egyptology, wie de keizerlike tsjinst, dy't feroarsake opskuor yn de tiid fan de bou fan de dyk nei Turyn (ûnder syn lieding waard droechlein fan mear as 80 tûzen kante kilometer fan malarial sompen). Lykwols, dit alles activism net ophâlde de wittenskipper dwaande hâlde mei wiskundige analyse. Yn 1802 waard ôflaat in fergeliking dat beskriuwt de fuortplanting fan waarmte yn fêste stoffen. Yn 1807, wittenskipper ûntduts in metoade foar it oplossen fan dizze fergeliking, dy't bekend waard as "Fourier nederlanders".

termyske conductivity analysis

Ûndersikers brûkt in wiskundige metoade te beskriuwen de waarmte conduction meganisme. In handige foarbyld, wêrby't gjin muoite yn-berekkening is de fuortplanting fan termyske enerzjy troch in izeren ring, ien diel ûnderdompele yn in brân. Te fieren eksperiminten Fourier reade hite part fan 'e ring en bigraef him yn' e prima sân. Dêrnei, de temperatuer mjittings útfierd op 'e tsjinoerstelde diel dêrfan. Yn it earstoan, de waarmte ferdieling is ûnregelmjittich: part fan de ring - kjeld, en de oare - hjit, tusken de sônes kinne observearje in skerpe temperatuer gradient. Lykwols, yn de waarmte ferdieling oer de metalen oerflak, it wurdt mear unifoarm. Dus, gau, dit proses nimt de foarm fan in sine weach. Earste grafyk stadichoan ferheget en ek ôfnimt soepel, sekuer de wetten fan fariaasje fan de kosinus of sine funksje. Wave stadichoan lyk en as gefolch fan de temperatuer wurdt unifoarm op de hiele oerflak fan 'e ring.

De skriuwer fan dizze metoade fan útgien dat de earste ferdieling is hiel ûnregelmjittich kin decomposed yn in tal legere sine weagen. Elts fan harren sil hawwe har faze (inisjele posysje) en syn maksimale temperatuer. Sa elk sa'n komponint feroarings fan in minimum oan in maksimum en werom te foltôgjen revolúsje om 'e ring hiel getal tiden. Komponint hawwen fan in perioade dat waard neamd de fûneminteel harmonic, en de wearde mei twa of mear perioaden - de twadde en sa op. Bygelyks, in wiskundige funksje dy't beskriuwt de maksimale temperatuer, de faze of posysje neamd de Fourier feroarje fan de ferdieling funksje. Scientist brocht in inkele ûnderdiel dat is lestich te wiskundich beskriuwing, foar ienfâldige te brûken ark - rigen sinus en kosinus, yn it bedrach fan it jaan fan de earste ferdieling.

De essinsje fan 'e analyze

Tapassen fan dizze analyze oan de bekearing fan waarmte ferdieling op de fêste foarwerp, hawwende in annular foarm, in wiskundige motivearre dat tanimmende perioaden fan kronkelige komponinten liede ta syn snelle damping. Dat wurdt dúdlik sjoen op 'e wichtichste en twadde harmonics. De úteinlike temperatuer berikt twa kear it maksimum en minimum wearden yn ien paas, en yn 'e earste - mar ien kear. It docht bliken dat de ôfstân reizge troch waarmte yn de twadde harmonic is de helte dy fan de kearn. Boppedat, it gradient fan 'e twadde helte sil ek wêze steew wêze as de earste. Dêrom, want in mear intense termyske drift passes widdo minimaal ôfstân, dan dit wurdt dommer harmonic fjouwer kear flugger as de wichtichste, as in funksje fan tiid. Yn de neikommende it proses sil noch flugger. Wiskundige leauden dat dizze metoade lit ús te berekkenjen fan it proses fan de earste ferdieling fan de temperatuer mei de tiid.

call tiidgenoaten

Fourier nederlanders algoritme is in útdaging foar de teoretyske fûneminten fan wiskunde oan 'e tiid. Yn it begjin fan de njoggentjinde ieu, meast foaroansteande wittenskippers, wêrûnder Lagrange, Laplace, Bonhomme, Legendre en Biot net akseptearje syn bewearing dat de temperatuer fan it earste ferdieling wurdt decomposed yn komponinten yn 'e foarm fan' e fûnemintele weach en hegere frekwinsje. Lykwols, de Akademy fan Wittenskippen koe net negearje de resultaten helle wiskundige, en takend him de priis foar de teory fan de waarmte conduction fan de wetten, en ek it útfieren fan syn ferliking mei fysike eksperiminten. Yn de Fourier oanpak, de wichtichste beswier is it feit dat in discontinuous funksje wurdt fertsjintwurdige troch in bedrach fan ferskate kronkelige funksjes, dy't kontinu. Ommers, se beskriuwe de barsten rjochte en bûgde linen. Eigentiidske wittenskipper hie nea tsjinkaam sa'n situaasje, doe't de discontinuous funksjes beskreaun troch in kombinaasje fan trochgeande, lykas kwadratyske, lineêr, sine of exhibitor. Yn it gefal dat in wiskundige wie rjocht yn syn assertions, de som fan in ûneinige rige fan trigonometryske moatte wurde beheind ta de eksakte snelheid. Wylst sa'n eask like absurd. Lykwols, nettsjinsteande de twifels fan guon ûndersikers (bgl Claude Navier, Sofi Zhermen) ferbrede it berik fan ûndersyk en brocht se út 'e analyze fan waarmte distribúsje. In wiskunde, wyls, bleau te lijen de fraach oft in bedrach fan ferskate kronkelige funksjes wurdt werombrocht ta in krekte werjefte fan bursting.

200-jierrige skiednis

Dizze teory hat him ûntwikkele mear as twa ieuwen, hjoed is it as lêste foarme. Mei de help fan de romtlike of tydlike funksjes wurde brutsen yn kronkelige ûnderdielen dy't in frekwinsje, faze en amplitude. Dizze konverzje wurdt krigen troch twa ferskillende wiskundige metoades. De earste dêrfan wurdt brûkt by de saak doe't de boarne is in trochrinnende funksje, en it twadde - yn it gefal dêr't it wurdt fertsjintwurdige troch in mearfâldichheid fan diskrete yndividuele feroarings. As de útdrukking wurdt krije by wearden, dy't wurde definiearre op diskrete tuskenskoften, kin ûnderferdield wurde yn meardere diskrete kronkelige frequenties uterings - út de leechste en dan ferdûbele, fertrijefâldige, ensfh boppe de fûnemintele. Dat bedrach wurdt neamd de Fourier rige. As de oarspronklike útdrukking bepaalt de wearde fan elk getal, kin wurde opdield yn meardere kronkelich alle mooglike frequenties. It hjit in Fourier yntegraal, en it beslút ymplisearret in transformaasje fan it yntegrale funksje. Los fan 'e metoade foar it heljen fan transformaasje, foar eltse frekwinsje moatte oanjaan twa nûmers: amplitude en frekwinsje. Dy wearden binne útdrukt as ien kompleks getal. Expression komplekse fariabelen teory tegearre mei Fourier transformaasje te fieren berekkeningen tastien it ûntwerp fan ferskate elektryske circuits, de analyze fan meganyske trillingen, de stúdzje fan 'e weach fuortplanting meganisme en oar.

Fourier nederlanders hjoed

Tsjintwurdich, de stúdzje fan dit proses yn prinsipe swolmen omleech nei it finen effektive metoaden foar de oergong fan funksje te bekearen it weromsette nei geast. Dy oplossing hjit de direkte en ynverze Fourier nederlanders. Wat moat dat wurde? Om te bepalen fan it yntegraal en meitsje in direkte Fourier skeppen, kinne jo gebrûk meitsje fan wiskundige metoaden, mar jo kinne analytyske. Nettsjinsteande it feit dat as se brûkt wurde yn 'e praktyk binne der in pear swierrichheden, de measte integrals binne al fûn en ynfierd yn wiskundige hantliedingen. Mei de help fan numerike metoaden kinne wurde berekkene útdrukkings, de foarm fan dat basearre is op 'e eksperimintele gegevens, in funksje wêrfan integrals yn de tabellen ûntbrekke, mar se binne dreech te tinken yn in analytysk foarm.

Foardat de komst fan de kompjûter engineering berekkeningen sokke transformaasjes west hawwe hiel ferfeelsum, se fereaskje hânlieding útfiering fan in grut oantal arithmetic operaasjes dy't ôfhinklik binne fan it oantal punten dy't beskriuwe de wave funksje. Te fasilitearjen de delsetting hjoed, binne der spesjale programma, tastien te fieren nije analytysk metoaden. Dus, yn 1965, Dzheyms Kuli en Dzhon Tyuki makke software dy't bekend waard as "Fast Fourier Nederlanders". It skeelt de tiid fan de berekkening troch ferminderjen fan it tal multiplications yn 'e analyze fan' e bocht. "Fast Fourier Transformearje" De metoade is basearre op ferdielen de bocht yn in grut tal unifoarme sample wearden. Accordingly, it oantal multiplications wurdt fermindere troch de helte op itselde ferminderjen it oantal punten.

Tapassen fan de Fourier nederlanders

Dit proses wurdt brûkt yn ferskate fjilden: Yn getalteory, natuerkunde, sinjaal ferwurkjen, combinatorics, wierskynlikheidsrekkening, kryptografyske, statistyk, oseanografy, optika, akoestiek, en oare geometries. Rike mooglikheden foar syn gebrûk binne basearre op in oantal brûkbere funksjes, hokker wurde neamd 'eigenskippen fan de Fourier transformaasje. " Lit ús ûndersykje se.

1. De ombou funksje is in liniearre operator en in soartgelikense normalization is ienheidssteat. Dit pân is bekend as de Parseval Theorem, of yn 'e algemiene gefal, de stelling Plansherelja of Pontrjagin dualisme.

2. De konverzje is Omkearregister. Boppedat, it tsjinoerstelde resultaat is wêzentlik fergelykbere foarm as yn 'e direkte oanpak.

3. De kronkelich basis uteringen binne har eigen differinsearre funksjes. Dat betsjut dat sa'n fertsjintwurdiging feroaret lineêre fergelikingen mei konstante coefficients yn in konvinsjonele algebraic.

4. Neffens de "convolution" stelling, it proses makket in komplekse operaasje yn legere multiplication.

5. diskrete Fourier Transformearje kin gau ûntwurpen op in kompjûter mei help fan it "fast" metoade.

Fariaasjes fan de Fourier nederlanders

1. Meast faak de term wurdt brûkt om te ferwizen nei in trochgeande transformaasje, it bieden fan eltse quadratically integrable útdrukking as de som fan komplekse Joast útdrukking mei spesifike angular frequenties en amplitudes. Dizze soarte hat ferskate oare foarmen, dat kin ferskillende konstante coefficients. De trochgeande metoade omfiemet in omsetting tafel, dy't te finen yn wiskundige hantliedingen. In generalisearre gefal is it fraksjonele ferbouwing, wêrby dit proses kin wurde ta de winske wiere macht.

2. It trochgeande metoade is in feralgemienjen fan eardere technyk fan Fourier rige opjûn foar elke periodike funksjes of útdrukkings, dy't bestean yn in beheind gebiet en fertsjintwurdigje se as in rige fan sinusoids.

3. diskrete Fourier nederlanders. Dizze metoade wurdt brûkt yn kompjûter- foar wittenskiplike computation en digitale sinjaal ferwurkjen. Om fieren dit type berekkening is nedich om hawwe in funksje fan it fêststellen op in diskrete set fan yndividuele punten, periodike of beheinde regio ynstee fan trochgeande Fourier integrals. Sinjaal ombou yn dit gefal wurdt fertsjintwurdige as in optelsom fan sinusoids. It brûken fan "fast" metoade lit it brûken fan digitale oplossings foar alle praktyske doelen.

4. It finster Fourier foarmjen is in generalisearre sicht fan 'e klassike metoade. Oars as standert oplossings as de sinjaal spektrum brûkt wurdt, dat is nommen yn it folsleine oanbod fan bestean fan dizze fariabele is fan bysûnder belang hjir is allinne de lokale frekwinsje ferdieling mei behâld fan it oarspronklike fariabele (tiid).

5. De twadiminsjonale Fourier nederlanders. Dizze metoade wurdt brûkt om te wurkjen mei twadiminsjonale rigen fan gegevens. Yn sa'n gefal, de konverzje wurdt útfierd yn ien rjochting, en dêrnei - yn 'e oare.

konklúzje

Hjoed, de Fourier metoade wurdt stevich entrenched yn de ûnderskate mêden fan wittenskip. Bygelyks, yn 1962 is iepene de foarm fan de DNA dûbele helix mei help fan Fourier analyze yn gearhing mei X-ray Diffraktion. Resinte kristallen rjochte op DNA fezels, resultearret yn in byld dat wurdt krigen troch Diffraktion, opnommen op 'e film. Dizze foto joech ynformaasje oer de wearde fan de amplitude troch mei de Fourier feroarje nei dizze kristallen struktuer. Faze gegevens ferkrigen troch dy te fergelykjen it DNA Diffraktion kaarten mei kaarten dy't ferkrigen yn 'e analyse fan lyksoartige gemyske struktueren. Dêrtroch Biologen restaurearre kristal struktuer - de oarspronklike funksje.

Fourier nederlanders spylje in grutte rol yn 'e stúdzje fan' e bûtenste romte, de fysika fan semiconductor materialen en plasma, magnetron akoestiek, oseanografy, radar, seismology en medyske eksamens.