De som fan de Angelen fan in trijehoek. De stelling oan de som fan de Angelen fan in trijehoek

De trijehoek is in Polygoon hawwende trije kanten (trije hoeken). Meast faak, it diel oantsjutten mei lytse letters oerienkommende haadletters, dy't fertsjintwurdigje tsjinoerstelde hoekpunten. Yn dit artikel wolle wy nimme efkes dizze typen fan geometryske foarmen, stelling, dat bepaalt wat is lyk oan de som fan de Angelen fan in trijehoek.

Types grutste ynfalshoeken

De neikommende soarten Polygoon mei trije hoekpunten:

• acute-sky sky, dêr't al de Angelen binne skerpe;
• rjochthoekige having ien rjochter hoeke, de kant foarmet it, oantsjut 'e skonken, en de kant dy't ynlevere tsjinoer nei rjochts hoeke hjit de hypotenusa;
• obtuse as men hoeke is obtuse ;
• isosceles, wêrfan twa kanten binne gelyk, en se wurde neamd dwers pleatst, en de tredde - in trijehoek mei in basis;
• equilateral hawwende trije gelikense kanten.

eigenskippen

Reservear romte foar de basiseigenskippen dy't karakteristyk is foar elk type trijehoek:

• tsjinoer de grutste kant is altyd grutter hoek, en oarsom;
• binne gelyk hoeken tsjinoer de gelikense-grutste partij, en oarsom;
• yn alle trijehoek hat twa akute hoeken;
• outer hoeke grutter as alle ynterne hoeke net adjacent dêrby;
• de som fan in twa Angelen is altyd minder as 180 graden;
• exterior hoeke is lyk oan de som fan de oare twa hoeken, dy't net mezhuyut mei him.

De stelling oan de som fan de Angelen fan in trijehoek

De stelling stelt dat as jo optelle alle hoeken fan de geometryske foarm, dat leit yn it Euclidean fleantúch, dan harren bedrach sil 180 graden. Lit ús besykje te bewizen dizze stelling.

Lit we hawwe in willekeurige trijehoek mei hoekpunten KMN. Oer de top fan de M hâlde sil in direkte parallel oan de line KN (ek dizze line hjit Euklides). Opgemerkt punt A sadat de punten K en A wurde regele út ferskillende kanten fan 'e line MN. Wy krije deselde hoeke fan AMS en muf, dat, lykas it binnenlân, lizze crosswise te foarmjen krusende MN yn gearhing mei direkte CN en MA, dy't parallel. Ut dit dan folget dat de som fan de Angelen fan de trijehoek, leit oan de hoekpunten fan M en N is gelyk oan de omfang fan 'e IOD hoeke. Alle trije ynfalshoeken besteane út in bedrach gelyk oan de som fan de Angelen fan KMA en MCS. Sûnt de gegevens binne ynterne hoeken relatyf sided parallelle linen CL en CM MA at krusende, harren bedrach is 180 graden. Dat bewiist de stelling.

resultaat

Fan boppesteande boppesteande stelling ymplisearret de folgjende corollary: alle trijehoek hat twa akute hoeken. Te bewizen dat, lit ús der fan út dat dit geometryske figuer hat mar ien akute hoek. Jo kinne ek oannimme dat net ien fan 'e hoeken binne net skerp. Yn dit gefal is it moat wêze op syn minst twa hoeken, de omfang dêrfan is gelyk oan of grutter as 90 graden. Mar dan de som fan de Angelen is grutter as 180 graden. Mar dat kin net wêze, as neffens de stelling som hoeken fan in trijehoek is gelyk oan 180 ° - net mear, net minder. Dat is wat moast bewiisd wurde.

Property bûten corners

Wat is de som fan de Angelen fan in trijehoek, dêr't binne eksterne? It antwurd op dizze fraach kinne krigen wurde troch it oanbringen fan ien of twa manieren. It earste is dat je moatte fine de som fan de Angelen, dy't wurde nommen ien op elke lêste, dat wol sizze, trije hoeken. It twadde hâldt yn dat jo moatte fine de som fan de seis Angelen op de hoekpunten. Om omgean mei it begjin fan de earste útfiering. Sa, de trijehoek befettet seis bûtenste hoeken - oan de boppekant fan elk fan 'e twa. Eltse pear hat gelyk hoeken tusken harsels, sûnt se binne vertical:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Boppedat, it is bekend dat de bûtenste hoeke fan in trijehoek is lyk oan de som fan de twa binnenlân, dy't net mezhuyutsya mei him. dêrom,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Ut dit docht bliken dat de som fan it eksterieur Angelen, dy't nommen wurde ien foar ien by elke vertex sil wêze lyk oan:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Mei it each op it feit dat de som fan de Angelen is lyk oan 180 graden, kin wurde oanfierd dat ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Dat betsjut dat ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. As de twadde opsje brûkt wurdt, de som fan de seis Angelen sil navenant grutter twa kear. Oftewol de som fan de Angelen fan in trijehoek bûten sil wêze:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

rjochter trijehoek

Wat is lyk oan de som fan de Angelen fan in rjocht trijehoek, is it eilân? It antwurd is, wer, út Stelling, dy't stelt dat de Angelen fan in trijehoek optelle oant 180 graden. In lûd ús bewearing (eigendom), lykas folget: yn in rjochts trijehoeke skerpe hoeken optelle oant 90 graden. Wy bewize syn veracity. Lit der wêze jûn trijehoeke KMN, dy't ∟N = 90 °. It is needsaaklik om te bewizen dat ∟K ∟M = + 90 °.

Sa, neffens de stelling oan de som fan de Angelen ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Yn dy tastân it is sein dat ∟N = 90 °. It docht bliken ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Dat is ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Dat is wat wy moatte bewize.

Neist boppesteande eigenskippen fan in rjocht trijehoeke, kinne jo tafoegje dizze:

• Angelen, dy't lizze tsjin de skonken binne skerpe;
• de hypotenusa fan de trijehoekich grutter as ien fan 'e skonken;
• de som fan de skonken mear as de hypotenusa;
• poat fan de trijehoek, dy't leit tsjinoerstelde oan 'e hoeke fan 30 graden, de helte fan de hypotenusa, dat is gelyk oan syn helte.

As in oare eigendom fan de geometryske foarm kin ûnderskieden wurde stelling fan Pytagoras. Se stelt dat yn in trijehoek mei in hoeke fan 90 graden (rjochthoekich), de som fan de kwadraten fan de skonken is lyk oan it plein fan de hypotenusa.

De som fan de hoeken fan in isosceles trijehoek

Earder wy seine dat in isosceles trijehoek is in Polygoon mei trije hoekpunten, mei dêryn twa likense kanten. Dit pân is bekend geometryske figuer: de Angelen by syn basis gelyk. Lit ús bewize dit.

Nim de trijehoek KMN, dat is isosceles, SC - syn basis. Wy binne ferplichte om te bewizen dat ∟K = ∟N. Sa, lit ús der fan út dat MA - KMN is de bisector fan ús trijehoek. ICA trijehoek mei it earste teken fan gelikensens is trijehoek MNA. Te witten, by hypoteze jûn dat CM = NM, MA is in mienskiplike kant, ∟1 = ∟2, om't MA - dit bisector. Mei help fan de gelykheid fan de twa trijehoeken, men koe stelle dat ∟K = ∟N. Dêrfandinne, de stelling wurdt bewiisd.

Mar wy binne ynteressearre yn, wat is de som fan de Angelen fan in trijehoek (isosceles). Om't yn dizze respekt dat net hawwe syn funksjes, wy sille begjinne út de stelling besprutsen earder. Dat is, kinne wy sizze dat ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, of 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (as ∟K = ∟N). Dit sil net bewize it eigendom, as de stelling oan de som fan de Angelen fan in trijehoek waard bewiisd earder.

Útsein de beskôge eigenskippen fan de hoeken fan in trijehoek, der binne ek sokke wichtige útspraken:

• yn in equilateral trijehoeke hichte, dat hie al ferlege ta de basis, is tagelyk de mediaan bisector fan 'e hoeke dat tusken de gelikense kanten en de as fan symmetry fan syn base;
• MEDIAN (bisector, hichte), dy't holden oan 'e kanten fan in geometryske figuer, binne gelyk.

equilateral trijehoek

It wurdt ek wol it rjocht, is de trijehoeke, dy't binne gelyk oan alle partijen. En dêrom ek gelyk en hoeken. Elts fan harren is 60 graden. Lit ús bewize dit eigendom.

Lit ús der fan út dat wy hawwe in trijehoek KMN. Wy witte dat KM = HM = KH. Dat betsjut dat, neffens it eigendom fan de Angelen leit oan de basis yn in equilateral trijehoek ∟K = ∟M = ∟N. Sûnt, neffens de som fan Angelen fan in trijehoek stelling ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, dan x 3 = 180 ° ∟K of ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Sa, de bewearing wurdt bewiisd. Sjoen fan de boppesteande bewiis basearre op de boppesteande stelling, de som fan de Angelen fan in equilateral trijehoek, as de som fan de Angelen fan in oare trijehoek is 180 graden. Wer biwiizgjende dizze stelling is net nedich.

Der binne noch in pear eigenskippen skaaimerk fan in equilateral trijehoek:

• mediaan bisector hichte yn in geometryske figuer identyk, en harren lingte wurdt berekkene as (in x √3): 2;
• As dit Polygon circumscribing de sirkel, dan de striel sil wêze gelyk oan (in x √3): 3;
• as op skreaun yn in sirkel equilateral trijehoeke, syn striel soe wêze (in x √3): 6;
• gebiet fan de geometryske figuer wurdt berekkene troch de formule: (A2 x √3): 4.

obtuse trijehoek

By definysje, in obtuse-angled trijehoeke, ien fan syn hoeken is tusken de 90 oant 180 graden. Mar sjoen it feit dat de oare twa hoeken fan de geometryske foarm skerpe, kin konkludearre wurde, dat se net mear as 90 graden. Dêrom, de som fan de Angelen fan in trijehoek stelling wurket it berekkenjen fan de som fan de Angelen yn in obtuse trijehoek. Sa, we kinne feilich sizze, basearre op de boppesteande stelling dat de som fan de obtuse Angelen fan in trijehoek is 180 graden. Wer, dy stelling net hoecht te opnij bewiis.