Wat is in posityf integer? Skiednis, omfang, eigenskippen

Math skieden fan 'e algemiene filosofy oer it sechsde ieu f. e., en fan dat stuit begûn it syn triomfearjend mars om 'e wrâld. Eltse stadium fan ûntwikkeling brocht wat nijs - in legere ferslach fan evoluearre, omfoarme ta de differinsjaaloperator en yntegraal calculus, ôfwiksele ieu, de formule waard mear betiizjend, en komme in tiid as "it begjin fan it dreechste wiskunde - dat ferdwûn út alle nûmers." Mar wat lei efter?

It útgongspunt

De natuerlike nûmers wiene op in par mei de earste wiskundige operaasjes. Ien kear werom, twa werom, trije spine ... Se ferskynde tank oan de Yndiaaske wittenskipper dy't earst brocht de mindere nûmer systeem. It wurd "mindere" betsjut dat de lokaasje fan elk sifer yn in oantal strikt bepaald en komt oerien mei har kategory. Bygelyks, de nûmers 784 en 487 - de nûmers binne itselde, mar de oantallen binne net itselde as de earste omfiemet 7 hûndert, wylst it twadde - mar 4. ynnovaasje yndianen pakte de Arabieren, dy't grutbrocht it oantal soarten dat wy witte no.

Yn âlde tiden, de nûmers hechte mystike betsjutting, de grutste wiskundige Pytagoras leaude dat it nûmer is by it hert fan de skepping op in par mei de basis eleminten - fjoer, wetter, ierde, loft. As wy beskôgje allegearre allinne mei de wiskundige kant, dan is dat in posityf integer? It fjild fan de natuerlike nûmers wurdt oantsjutten as N en is in ûneinige rige fan nûmers dy't positive integers en 1, 2, 3, ... + ∞. Nul is útsletten. Benammen brûkt foar it tellen fan de items en spesifisearje de bestelling.

Wat is in natuerlike getal yn de wiskunde? axioms of Peano

Field N is de basis wêrop rêst elemintêre wiskunde. Nei ferrin fan tiid, de isolearre fjild integers, rasjonele nûmers, komplekse getallen.

It wurk fan de Italjaanske wiskundige Dzhuzeppe Peano makke mooglik de fierdere strukturearjen fan rekkenjen, hawwe makke har de formaliteiten en ree de grûn foar fierdere konklúzjes dy't fierder gean as it fjild regio N. Wat is in natuerlik getal, dat is fûn earder yn ienfâldige taal, it neikommende wurdt sjoen oan 'e hân fan in wiskundige definysje fan de Peano axioms.

• Ienheid wurdt beskôge as in natuerlik getal.
• It nûmer dat folget de natuerlike getal, is in natuerlik.
• Foardat de ienheid is gjin natuerlike getal.
• As it oantal b moat wêze sawol it oantal c, en it oantal d, dan c = d.
• It axiom fan induction, dy't op syn beurt suggerearret dat in natuerlike getal, as in ferklearring dat hinget ôf fan in parameter is wier foar it nûmer 1, dan geane wy derfan út dat it wurket foar n oantal fjilden fan de natuerlike getallen N. Dan de bewearing is wier foar n = 1 út it fjild fan de natuerlike getallen N.

Basis operaasjes foar in fjild fan de natuerlike getallen

Sûnt it fjild N wie de earste dy't de wiskundige berekkeningen, it is om behannele wurde as it domein fan 'e definysje, en it gebiet ûnder it oantal transaksjes wearden. Se wurde sletten en nee. It wichtichste ferskil is dat de operaasje is garandearre om ferlitte in sletten resultaat binnen de dea N, nettsjinsteande wat nûmers binne belutsen. It is genôch dat se binne natuerlik. De útkomst fan de oerbleaune numerike ynteraksje is net sa sljocht en rjocht en is ôfhinklik fan it feit dat foar harren belutsen by de útdrukking, dat ek wêze yn striid mei de basis definysje. Sa, de sletten hannelingen:

• Wierren - x + y = z, dêr't x, y, z is út fjild N;
• flere - x * y = z, dêr't x, y, z is út fjild N;
• exponentiation - x ^y, dêr't x, y komt út N. Field

De oerbliuwende hannelingen, it gefolch fan dat kin net bestean by it fêststellen fan kontekst "dat is in natuerlik getal" as folget:

• Subtraction - x - y = z. Fjild natuerlike getallen kinne it allinne as it langer x y;
• division - x / y = z. Fjild natuerlike getallen kinne it allinne as z wurdt ferdield troch y gjin residu, i.e. gelijkmatig.

Eigenskippen fan nûmers, dy't ta it fjild N

Alle fierdere matematysk ferstân wurdt basearre op dizze eigenskippen, de meast triviale, mar net minder wichtich.

• Commutative eigendom fan oanfolling - x + y = y + x, dêr't it oantal x, y opnommen yn it fak N. Of de bekende "út de ferhuzing fan 'e som wurdt net feroare."
• Commutative eigendom fan flere - x * y = y * x, dêr't de nûmers x, y komt út N. Field
• Associatieve eigendom fan addition - (x + y) + z = x + (y + z), dêr't x, y, z is út N. Field
• Associatieve eigendom fan flere - (X * Y) * z = x * (y * z), dêr't de nûmers x, y, z is út N. Field
• distributyf eigendom - x (y + z) = x * y + x * z, dêr't de nûmers x, y, z is út N. Field

Table fan Pytagoras

Ien fan de earste stappen yn 'e kennis fan' e learlingen yn de hiele legere wiskunde bousels neidat sy begripe foar harsels wat oantallen wurde neamd natuerlike, is in tafel fan Pytagoras. It kin beskôge wurde net allinnich út it eachpunt fan wittenskip, mar ek as in weardefol wittenskiplike monumint.

Dit flere tafel hat ûndergien in tal feroarings oer tiid: It waard fuorthelle út nul, en de sifers fan 1 oant 10 stean foar harsels, útsein oarders fan grutte (hûnderten, tûzenen ...). It is in tafel dêr't titels rigen en kolommen - it oantal en de ynhâld fan 'e sellen fan de krusing is gelyk oan it produkt fan har eigen.

Yn de praktyk fan oplieding de lêste pear desennia dêr wie de needsaak foar it learen fan de Pytagoreysks tafel "yn oarder", dat wol sizze, earst gie op memorization. Flere 1 waard weilitten, sûnt it resultaat is lyk oan 1 of heger faktor. Undertusken, yn 'e tabel is te sjen mei it bleate each patroan: it produkt fan' e nûmers tanimmende troch ien stap, dat is gelyk titel tekenrige. Sa, de twadde faktor sjen lit ús hoefolle kearen jo moatte nimme it earste, om te krijen de winske produkt. Dit systeem is yn tsjinstelling ta it handiger ien dat waard oefene yn de midsieuwen: sels wittenskip dat is in posityf lizzende hiele getal, en hoe't it is triviale, minsken slagge om complicate josels deistich troch it brûken fan in systeem dat basearre wie op 'e graden fan twa.

In dielsamling as de widze fan de wiskunde

Op it stuit, it mêd fan de natuerlike getallen N wurdt sjoen as allinne as ien fan 'e subsets fan de komplekse getallen, mar it net meitsje se minder weardefol yn wittenskip. Natuerlik getal - it earste ding dat in bern leart troch studearjen ússels en de wrâld om ús hinne. Ien kear in finger, twa finger ... Mei tank oan him, in man foarme troch logyske tinken, lykas ek de mooglikheid om te bepalen de oarsaak en gefolch fan útfier, tegels it paad foar grutte ûntdekkingen.